高校生が数学Ⅰで学習する「集合と命題」の用語と考えるコツを具体例とともに | 全国で話題のオンライン授業や数学コミュニティサロンについてわかりやすくご紹介

2つの集合

　A＝｛1,2,3,4,5｝, B=｛2,3｝

では、Bのどの要素もAの要素になっている。

このとき、BはAの部分集合であるといいB⊂Aと表します。

実数の大小関係と似ていますね。

また、要素を１つももたない集合を空集合といい、記号Φで表します。

さらに、AとBのどちらにも属する要素全体の集合を、AとＢの共通部分

といい、Ａ∩Ｂで表します。また、ＡとＢの少なくとも一方に属する要素

全体の集合をＡとＢの和集合といい、Ａ∪Ｂで表します。

すなわち、

Ａ∩Ｂ＝｛2,3｝(=B)

Ａ∪Ｂ＝｛1,2,3,4,5｝(=A)

ド・モルガンの法則と補集合

　全体集合Uの部分集合Aに対して、Aに属さないUの要素全体の集合を、Uに関する

Aの補集合といい、Āで表します。

さらに、Ａ∩ＢとＡ∪Ｂの補集合について、次の法則が成り立ちます。これを

ド・モルガンの法則といいます。

集合は、ベン図を書いて整理するとわかりやすくなります。簡単な有限集合で

実際にド・モルガンの法則が成り立つことを確かめてみましょう。

命題「ｐならばｑ」をｐ⇒ｑとも書き、ｐをこの命題の仮定、ｑを結論といいます。

ここで、全体集合をＵとする命題ｐ⇒ｑにおいて、

条件ｐを満たすＵの要素全体の集合をＰ、条件ｑを満たすＵの要素全体の集合をＱ

とすると、ｐ⇒ｑが真ならば、Ｐ⊂Ｑが成り立ちます。つまりＱの集合の方が大き

くて、ＰがＱの内部にあります。ｐ⇒ｑが偽であるとき、Ｐ⊂Ｑが成り立たない、

つまり、Ｐの要素の中に、Ｑの要素でないものが存在します。この要素を反例と

いいます。成り立たないことを示すことと反例をあげることは、同じことですね。

２つの条件ｐ、ｑについて、命題ｐ⇒ｑが真であるとき、

ｑはｐであるための必要条件である、

ｐはｑであるための十分条件である

といいます。

全体集合をＵとし、条件ｐ、ｑを満たすもの全体の集合を、それぞれＰ，Ｑとすると、

Ｐ⊂Ｑであり、Ｑが必要条件を満たす集合、Ｐは十分条件を満たす集合だから、

必要条件を満たす集合の方が大きな集合であることがわかります。

知りたい情報を検索するとき、たくさんの情報が検索結果に現れます。これは、検索ワードにあてはまるすべての情報を、集めてきているわけですから、最大の集合、つまり、必要条件を満たす集合ということになります。その中から自分の知りたい情報に

最も当てはまるもの、つまり十分条件を満たすものを１つ１つ探していくわけです。

必要条件と十分条件が完全に一致するとき、ｐはｑであるための必要十分条件といいます。

ある命題を証明するのに、命題を証明することが、困難な場合、その対偶を証明しても正しい結果となります。（対偶とは、命題ｐ⇒ｑに対して、逆にして裏をとったもの。）

また、その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が導かれることを示し、そのことに

よってもとの命題が成り立つと結論する方法を背理法といいます。