高校生が数学Ⅰで学習する「集合と命題」の用語と考えるコツを具体例とともに

query_builder 2021/03/25
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集合と命題

集合とは、範囲がはっきりしたものの集まりのことをいいます。その集合を構成している

1つ1つのものを、その集合の要素といいます。

例えば、1から10までの素数の集合をPとおくと、P={2,3,5,7,}と表すことができます。

2は、集合Pの要素であるから、

  2∈P

のように記号を使って表します。


A={2,4,6,…,100}={2n|n=1,2,3,…50} B={2n+1|n=1,2,3,…} 

のような表し方もあります。

Aのように有限個の要素からなる集合を有限集合

Bのように無限に多くの要素からなる集合を無限集合

といいます。




命題とは、正しいか正しくないかが明確に決まる文や式のことをいいます。

例えば(A)豆腐は大豆からつくられる。  正しい

   (B)長方形は、平行四辺形である。  正しい

   (C)すべてのカラスは黒い。    正しくない (実は、白いカラスもいる)

などのことをいいます。正しいときはである、正しくないときはであるといいます。

そして、ある条件があれば、真であるが、なければ偽になるという命題もあります。

例えば「xは正の数である」という命題があったときに、x=ー1のときは、偽であることになるし、x=3のときは真であることになります。このようにxを含んだ文や式を、xに関する条件といいます。

この条件を集合で表すことがあります。

数学Ⅰの集合と命題

共通部分と和集合、そしてド・モルガンの法則って?

2つの集合

 A={1,2,3,4,5}, B={2,3}

では、Bのどの要素もAの要素になっている。

このとき、BはAの部分集合であるといいB⊂Aと表します。

実数の大小関係と似ていますね。

また、要素を1つももたない集合を空集合といい、記号Φで表します。

さらに、AとBのどちらにも属する要素全体の集合を、AとBの共通部分

といい、A∩Bで表します。また、AとBの少なくとも一方に属する要素

全体の集合をAとBの和集合といい、A∪Bで表します。

すなわち、

A∩B={2,3}(=B)

A∪B={1,2,3,4,5}(=A)



ド・モルガンの法則と補集合

 全体集合Uの部分集合Aに対して、Aに属さないUの要素全体の集合を、Uに関する

Aの補集合といい、Āで表します。

さらに、A∩BとA∪Bの補集合について、次の法則が成り立ちます。これを

ド・モルガンの法則といいます。





ドモルガン

集合は、ベン図を書いて整理するとわかりやすくなります。簡単な有限集合で

実際にド・モルガンの法則が成り立つことを確かめてみましょう。

必要条件と十分条件、必要十分条件とは?

命題「pならばq」をp⇒qとも書き、pをこの命題の仮定、qを結論といいます。

ここで、全体集合をUとする命題p⇒qにおいて、

条件pを満たすUの要素全体の集合をP、条件qを満たすUの要素全体の集合をQ

とすると、p⇒qが真ならば、P⊂Qが成り立ちます。つまりQの集合の方が大き

くて、PがQの内部にあります。p⇒qが偽であるとき、P⊂Qが成り立たない、

つまり、Pの要素の中に、Qの要素でないものが存在します。この要素を反例

いいます。成り立たないことを示すことと反例をあげることは、同じことですね。



2つの条件p、qについて、命題p⇒qが真であるとき、

qはpであるための必要条件である、

pはqであるための十分条件である

といいます。

全体集合をUとし、条件p、qを満たすもの全体の集合を、それぞれP,Qとすると、

P⊂Qであり、Qが必要条件を満たす集合、Pは十分条件を満たす集合だから、

必要条件を満たす集合の方が大きな集合であることがわかります。


知りたい情報を検索するとき、たくさんの情報が検索結果に現れます。これは、検索ワードにあてはまるすべての情報を、集めてきているわけですから、最大の集合、つまり、必要条件を満たす集合ということになります。その中から自分の知りたい情報に

最も当てはまるもの、つまり十分条件を満たすものを1つ1つ探していくわけです。

必要条件と十分条件が完全に一致するとき、pはqであるための必要十分条件といいます。

対偶と背理法を利用した証明方法

ある命題を証明するのに、命題を証明することが、困難な場合、その対偶を証明しても正しい結果となります。(対偶とは、命題p⇒qに対して、逆にして裏をとったもの。)

また、その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が導かれることを示し、そのことに

よってもとの命題が成り立つと結論する方法を背理法といいます。

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